Études de configurations géométriques - Corrigé

Énoncé

Soit les nombres complexes :
`z_1 = (1-i)(1+2i)`
`z_2 = \frac{2+6i}{3-i}`
`z_3 = \frac{-4i}{1-i}`

1. Déterminer la forme algébrique de  `z_1 , z_2` et ``   \(z_3\) .

2. Placer les points \(\text M_1 , \text M_2\) et \(\text M_3\)  d'affixe respective  `z_1 , z_2` et ``   \(z_3\) .

3. Déterminer la nature du triangle \(\text M_1\text M_2\text M_3\) .

4. Déterminer l'affixe de \(\text M_4\) tel que \(\text M_2\text M_1\text M_3\text M_4\)  soit un carré.

Solution

1. \(z_1 = 3+i, z_2 = 2i\) et \(z_3 = 2-2i\) .

3. \(\dfrac{z_3 - z_1}{z_2 - z_1} = \dfrac{2-2i -(3-i)}{2i-(3+i)} = \dfrac{-1-3i}{-3+i} = \dfrac{i(-3+i)}{-3+i} = i\)
Donc \(\text M_1\text M_2\text M_3\)  est rectangle isocèle en \(\text M_1\) .

4. \(\text M_1\text M_2\text M_3\)  est rectangle isocèle en \(\text M_1\) donc \(\text M_2\text M_1\text M_3\text M_4\) est un carré si et seulement si  \(\text M_2\text M_1\text M_3\text M_4\) est un parallélogramme si et seulement si \(z_{\text M_4} - z_{\text M_3} = z_{\text M_2} - z_{\text M_1}\) si et seulement si \(z_{\text M_4} = z_{\text M_3} + z_{\text M_2} - z_{\text M_1}\) si et seulement si \(z_{\text M_4} = 2-2i +2i - (3+i) = 2-3-i = -1-i\) .
Donc \(z_{\text M_4} = -1-i\) .